La cinématique est l'étude des mouvement d'objets
Vitesse
La vitesse correspond à la variation de position au cours du temps. Pour être précis, il y a plusieurs définitions différente
Vitesse scalaire moyenne
La vitesse scalaire moyenne est définie par
\[ \text{vitesse} = \frac{\text{distance parcourue}}{\text{temps de parcours}} \]
ou plus simplement par
\[ v = \frac{d}{t}\]
avec
\(v\) la vitesse en m/s
\(d\) la distance parcourue en m
\(s\) le temps en s
Vitesse moyenne le long d'un axe x
Une fois choisi un axe \(x\) de mesure, on définit la vitesse moyenne le long de cet axe par
\[ v_{moyenne \, x} = \frac {\Delta x}{\Delta t} = \frac {x_{final}- x_{initial}}{ t_{final}- t_{initial}}\]
Avec
\(v_{moyenne \, x}\) la vitesse moyenne en m/s.
\(\Delta x = x_{final}- x_{initial} \) la variation de position sur l'axe x en m entre deux instants.
\(\Delta t = t_{final}- t_{initial} \) le temps écoulé entre deux instants.
Vitesse instantanée le long d'un axe x
\[ v_{instantanée \, x} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta x}{\Delta t} \]
Mouvement Rectiligne Uniforme MRU
Accélération
L'accélération correspond à une variation de vitesse au cours du temps.
Lorsque la vitesse augmente, diminue ou change de direction, il y a accélération.
Accélération moyenne le long d'un axe x
On définit l'accélération par
\[a_{moyenne\,x} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{final}-v_{initial}}{t_{final}-t_{initial}} \]
Avec
\(a_{moyenne\,x}\) l'accélération en \(m/s^2\)
\(\Delta v = v_{final}- v_{initial} \) la variation de vitesse en m/s entre deux instants.
\(\Delta t = t_{final}- t_{initial} \) le temps écoulé entre deux instants.
Accélération instantanée le long d'un axe x
Pour être plus précis, lorsque l'accélération change, on définit
\[a_{instantanée\,x} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}\]
Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)
Equations horaires
Avec les définitions et réflexions précédentes et en simplifiant un peu l'écriture, on obtient les équations horaires suivantes qui sont applicables dans tous les mouvements rectilignes uniformément accélérés.
\[a (t)= a\]
\[ v(t) = a\cdot t + v_0\]
\[ x(t) = \frac {1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t +x_0\]
Avec
\(a\) l'accélération constante en \(m/s^2\)
\(v(t)\) la vitesse en m/s à n'importe quel moment \(t\)
\(t\) le temps en s
\(v_0\) la vitesse initiale en m/s
\(x(t)\) la position sur un axe en m à n'importe quel instant \(t\)
\(x_0\) la position de départ sur l'axe en m
Chute libre
Sur Terre, sans force de frottement et en considérant une accélération constante, tous les objets chutent de la même manière avec une accélération \(g\) valant 9,81 \(m/s^2\) dirigée vers le bas.
Balistique
On peut généraliser tout ce qui a été introduit précédemment à deux (et même trois) dimensions à l'aide des vecteurs et de leurs composantes.
On a alors la position
\[ \vec{r}= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\]
La vitesse
\[ \vec{v}= \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\]
Et l'accélération
\[ \vec{a}= \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}\]
Dans le cas particulier d'un objet lancé sur Terre, en négligeant les frottements et on considérant que l'attraction terrestre vaut une constante \(g\), on a les équations horaires suivantes.
\[ x(t) = v_{0x} \cdot t+x_0\]
\[v_x(t) = v_{0x}\]
\[a_x(t) = 0\]
\[y(t) = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_{0y} \cdot t +y_0\]
\[v_y(t) = -g\cdot t +v_{0y}\]
\[a_y(t) = -g\]
Voici une petite application permettant de simuler différentes trajectoires. En particulier, il est possible d'ajouter des frottements pour voir les conséquences.
source: phet colorado
Dans le cas particulier de la balistique sans frottement et avec une attraction terrestre constante \(g\), on peut montrer que toutes les trajectoires sont des paraboles. En effet, dans ce cas on a les équations suivantes, en prenant \(x_0 = 0\) pour simplifier.
\[y= -\frac{1}{2}gt^2 +v_{0y}t + y_0\]
\[x= v_{0x}t\]
On en déduit \(t =\frac{x}{v_{0x}}\) que l'on peut insérer dans l'autre équation
\[y = -\frac{1}{2} g \Bigl( \frac{x}{v_{0x}} \Bigr)^2 + v_{0y} \frac{x}{v_{0x}} + y_0\]
\[y = -\frac{g}{2 v_{0x}^2} x^2 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}}x + y_0\]
De la forme \(y = ax^2 + bx + c\) avec \(a=-\frac{g}{2 v_{0x}^2}\), \(b=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}\) et \(c=y_0\), l'équation d'une parabole.
Mouvement Circulaire Uniforme (MCU)
Considérons un objet qui tourne en rond de manière régulière sur un cercle de rayon \(r\) en mètre. Soit \(T\) sa période en seconde, c'est à dire le temps nécessaire pour faire un tour. On a alors sa vitesse \(v\) en m/s par la relation
\[ v = \frac{2 \pi r}{T}\]
On peut aussi définir sa fréquence \(f\) en Hertz (Hz) comme l'inverse de sa période.
\[ f = \frac{1}{T}\]
La période \(T\) correspond alors au temps pour faire un tour en seconde et la fréquence \(f\) au nombre de tours faits en 1 seconde.
Pour que la vitesse change de direction, il faut une accélération. On peut montrer que l'accélération centripète, dirigée vers le centre du cercle, est donnée par
\[a = \frac{v^2}{r}\]